Partie C : aire sous une parabole - Méthode des rectangles

Soit \(f\) la fonction carré définie sur l'intervalle \([0~;~1]\).
On se place dans un repère orthonormé d'un plan. La courbe représentative de \(f\) dans ce repère, notée \(\mathcal C\), est une branche de parabole.

On considère le domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe \(\mathcal C\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\). 

Dans cette partie, on explore la méthode des rectangles.
Elle permet de donner une valeur approchée de l'aire sous la courbe d'une fonction.

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant est représenté le domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe \(\mathcal C\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\), ainsi que deux séries de rectangles : l'une rouge et l'autre verte. Les rectangles rouges sont appelés « rectangles inférieurs », les rectangles verts sont appelés « rectangles supérieurs ».
Les réels Sup et Inf correspondent, respectivement, à la somme des aires, en unités d'aire (u.a.), des rectangles rouges et des rectangles verts. Le curseur \(n\) permet de faire varier le nombre de rectangles.

1. En observant le fichier de géométrie dynamique, expliquer comment fonctionne la méthode des rectangles et conjecturer comment elle permet d'estimer l'aire du domaine. On précisera en particulier comment sont construits les rectangles rouges et les rectangles verts.
2. En faisant varier le curseur \(n\), conjecturer une valeur de l'aire du domaine \(\mathscr D\), en unités d'aire (u.a.).